Пример расчета балки на изгиб

Выполните полный расчет на прочность и проверьте жесткость статически определимой двутавровой балки (рис. 1) при следующих данных: F=40 кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4 м, допустимые нормальные и сдвиговые напряжения: [ σ ]=160 МПа и [ τ ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]= l/400

Определение опорных реакций

Для подробного примера определения опорных реакций балки нажмите здесь

А также в нашем видеоуроке:

Построение эпюр Q и М

Используйте эти данные для расчета Q и M диаграмм.

Подбор сечения двутавровой балки

Так как Ммакс = 45 кНм, то

Из сортамента выбираем двутавровую балку № 24, для которой Wx = 289 см 3, Ix = 3460 см 4, Smax = 163 см 3, h = 24 см, bn = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h0 = h-2t = 22,1 см.

Эта двутавровая балка будет работать при максимальных нормальных напряжениях в крайних волокнах опасного сечения.

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Поскольку Qmax = 68 кН

Построение нормальных напряжений σ и сдвиговых напряжений τ в неблагоприятном сечении балки:

Что касается основного напряжения, то неблагоприятным участком над левой ногой является участок со следующими условиями.

Значения напряжений в различных точках по высоте двутавровой балки приведены в таблице 1.

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой на неблагоприятном участке является точка 3. В этой точке σ 1=118 МПа и σ 3= -16 МПа. Проверяем силу в этой точке согласно третьей гипотезе силы по неравенству σ 1 – σ 3≤ [ σ ].

Поскольку 118 – ( -16 ) = 134 θ 0

следовательно, θ 0 = -8.48∙10 -3 радиан.

Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.

Аналогично, прогиб на конце кантилевера определяется, когда z = l + a = 4 + 0,8 = 4,8 м.

Для данной балки I-образного сечения ( = 210 МПа, E = 2 x 10 5 МПа) и требуемые нагрузки;

(1) Постройте диаграммы поперечных сил и изгибающих моментов;

2) Определите нормальные и сдвигающие напряжения в сечениях с наибольшим моментом и сдвигающей силой на расстоянии h/4 от нейтральной оси;

Определите прогиб конца балки в точке B.

При построении Q- и M-диаграмм необходимо следовать принципу знака. Положительное направление сил показано на рисунке.

Определение реакций поддержки 1.

2. используя метод сечений, определите ординаты поперечной силы в характерных сечениях. Для этого балка делится на две секции. Границы раздела – это место, где нагрузка изменяется. Диаграмма начинается с правого свободного конца балки.

Изгибающий момент максимален на участке, где поперечная сила равна нулю. Положение этой секции определяется условием:

3) Изгибающие моменты в характерных сечениях определяются методом сечений и строится эпюра моментов. Экстремум при x = 2 м.

Наиболее нагруженным участком балки является участок А на конце, где Mmax = 120 кН м, Qmax = – 80 кН.

4) Требуемый момент сопротивления сечения должен быть определен из условий прочности по нормальным напряжениям.

Мы должны взять двутавровую балку № 33 по ГОСТ 8509-72.

Максимальное напряжение в опасном сечении будет равно

5. определите нормальное напряжение в точке E сечения на расстоянии h/4 = 8,25 см от нейтральной оси (рис. 4.9.).

Чтобы определить касательное напряжение в точке E, рассчитаем статический момент среза над точкой E относительно центральной оси X.

Определите прогиб балки в точке B, используя универсальное уравнение прогиба.

Для данной консольной балки граничными условиями будут: угол сечения A прогиб A

Не нашли то, что искали? Используйте поиск:

Лучшие поговорки: на стипендию можно что-то купить, но не больше. 9122 – | 7289 – или прочитать их все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором размещенного материала. Но он предоставляет возможность свободного использования. Имело ли место нарушение авторских прав? Свяжитесь с нами | Обратная связь.

Снова активируйте AdBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужный

В качестве примера возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем формулу для расчета прогиба для этой балки, а затем вычислим его численное значение. А также в конце этой статьи я приведу ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки поперечные сечения балки перемещаются по вертикали (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Прогиб балки можно определить, зная ее геометрию: длину, размеры поперечного сечения. И нам также необходимо знать материал балки (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки поворачиваются на определенный угол. И эти значения также могут быть определены методом начальных параметров.

ν прогиб участка C; θ угол поворота участка C.

При расчете жесткости необходимо вычислить прогибы балки. Рассчитанные значения прогиба не должны превышать допустимых значений. Если вычисленное значение меньше допустимого, то считается, что условие жесткости элемента выполнено. Если нет, следует принять меры для увеличения жесткости. Например, используется другой материал с более высоким модулем упругости. В качестве альтернативы изменяются геометрические параметры балки, чаще всего ее поперечное сечение. Например, если сечение двутавровой балки 12 не соответствует жесткости балки, выбирается и пересчитывается двутавровая балка 14. При необходимости выбор повторяется до тех пор, пока не будет найдена двутавровая балка.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является достаточно универсальным и простым методом. Используя этот метод, можно вывести формулу для расчета прогиба и угла поворота любого участка балки постоянной жесткости (с одинаковым сечением по всей длине).

В качестве начальных параметров берутся уже известные смещения:

• в опорах прогибы равны нулю;
• в жестких концах прогиб и угол поворота сечения равны нулю.

Расчет прогибов балки

Рассмотрим, как использовать метод начальных параметров на примере простой балки, нагруженной всеми возможными видами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости метода:

Реакции опор

Для расчета необходимо знать все внешние нагрузки, действующие на балку, включая реакции, возникающие в опорах.

Система координат

Далее вводим систему координат, начало которой находится на левой стороне луча (точка A):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будет использоваться позже, работает только в том случае, если распределенная нагрузка достигает правого участка, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно в нашем случае нагрузка обрывается, и такая схема расчета неприемлема для дальнейших вычислений.

Если бы нагрузка была приложена таким образом:

Тогда можно сразу приступить к расчету перемещений. Придется прибегнуть к одной хитрости: ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжением существующей нагрузки q, а другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, мы получим эквивалентную схему расчета, которую уже можно использовать при расчете методом начального параметра:

Это все подготовительные шаги, которые необходимо выполнить, прежде чем приступать к расчету.

Перейдем непосредственно к фактическому расчету прогиба балки. Рассмотрим участок в середине пролета, представляющий наибольший интерес, очевидно, что этот участок будет прогибаться больше всего, и при расчете жесткости таких балок будет рассчитываться именно этот участок. Назовем его C:

Запишите граничные условия с учетом системы координат. Учитывая, как закреплена балка, устанавливаем, что прогибы в точках A и B равны нулю, важны расстояния от начала координат до опор:

Запишем уравнение метода начальных параметров для раздела C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба участка C будет равно произведению EI и прогиба участка, расположенного в начале системы координат, т.е. участка A:

Напомним, E – модуль упругости первого рода, который зависит от материала балки, I – момент инерции, который зависит от формы и размеров сечения балки. Также учитывается угол поворота сечения в начале системы координат, а угол поворота дополнительно умножается на расстояние рассматриваемого сечения от начала координат:

Учет внешней нагрузки

Наконец, необходимо учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая приходится на левую сторону рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:

• Концентрированные силы и распределенные нагрузки, направленные вверх, т.е. совпадающие с направлением оси y, записываются в уравнение со знаком плюс. Если они соответственно в противоположном направлении, то пишутся со знаком минус:

• Моменты по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:

• Все сосредоточенные моменты необходимо умножить на дробь:

[ Mcdot frac < < x >^ < 2 >>< 2 >].

• Все сосредоточенные силы должны быть умножены на дробь:

[ Fcdot frac < < x >^ < 3 >>< 6 >].

• Начало и конец распределенных нагрузок следует умножить на дробь:

Формулы прогибов

Принимая во внимание все описанные выше правила, запишем окончательное уравнение для раздела C:

Это уравнение содержит 2 неизвестных – желаемый прогиб секции C и угол поворота секции A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения В, из которого можно определить угол поворота сечения А. Одновременно закрепим полученные знания:

Выразите угол поворота:

Подставьте это значение в наше первое уравнение и найдите требуемое смещение:

Вычисление прогиба

Это значение было получено в общем виде, поскольку мы изначально не указали сечение балки для расчета. Предположим, что металлическая балка имеет сечение двутавра 30. тогда:

Поэтому такой луч будет отклонен максимум на 2 см. Знак минус означает, что поперечное сечение будет двигаться вниз.