Применение в цифровой электронике двоичной системы счисления

Цифровые системы представляют информацию в двоичном (бинарном) коде, который состоит из двух символов: логического «0» и логической «1». Наличие двух символов определяет использование двоичной нотации в цифровых устройствах.

Системы счисления, в которых значение каждого разряда определяется не только символом, но и цифрой (позицией в числе N), называются позиционными. Нетрудно заметить, что римская система счисления является непозиционной.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием q может быть представлено в виде многочлена:

где q — основание системы счисления;

m — количество цифр, которые нужно вычесть из нуля;

— коэффициент i-го разряда (элемента числа N(q)), принимающий значения 0, 1. (q-1) — в зависимости от значения N(q).

Например, число 7526(10) в обычной десятичной системе (q=10) можно представить как:

Как видно, коэффициент нулевого разряда (a0=6) определяет количество единиц в числе N(10), коэффициент первого разряда (a1=2) — количество десятков и так далее.

Для представления числа в двоичной системе счисления примем q=2. Тогда

где ai — коэффициент при разряде, принимающий одно из двух значений (0 или 1) в зависимости от значения N(2).

Например, число 2610 в двоичном виде может быть представлено как:

Принцип перевода числа из десятичной системы в двоичную заключается в последовательном делении на 2 (основание двоичной системы) до тех пор, пока коэффициент деления не станет равен 1. Затем из этого коэффициента и всех остатков можно сформировать нужное двоичное число, начиная с последнего (справа налево).

В цифровых вычислительных системах также используется комбинированная десятично-двоичная система счисления, что облегчает запись больших чисел с помощью двоичного кода. В этом случае каждая цифра десятичного числа записывается в двоичном коде с помощью соответствующих тетрад, или четырехразрядных двоичных элементов (цифры 8 и 9 не могут быть представлены иначе). Например, число 197(10) в десятично-двоичной системе выглядит следующим образом

Недостатком этой системы является ее избыточность для чисел 7 и ниже (многие двоичные цифры не используются).

Чтобы устранить этот недостаток, компьютеры используют восьмеричную систему счисления (q=8), которую затем можно записать в двоичном коде (22,5), используя только три цифры для каждого разряда: триада. Важнейшим свойством восьмеричной системы является то, что если записать каждую цифру восьмеричной системы в двоичной триаде, то полученное выражение будет представлено в двоичной нотации.

Восьмеричные системы используются в компьютерах для кодирования адресов и команд. Сначала программа пишется в восьмеричном коде, затем она переводится в двоичный и вводится в компьютер.

Еще более удобной является шестнадцатеричная (буквенно-цифровая) система счисления, которая состоит из десяти цифровых знаков (0, 1, . 9) и шести буквенных знаков (A, B, F). Таким образом, буквы A, B. F представляют собой числа 10, 11. 15. Например, число B7E16 означает:

В большинстве компьютеров количество цифр в группе цифровых символов, несущих определенную часть информации (так называемое машинное слово), кратно 8. Поэтому информационная емкость машинного слова кратна 8 битам. Единица информации в 8 бит называется байтом (от слова «байт»), т.е. 1 байт = 8 бит. Байты и особенно килобайты (кбайты) обычно используются для оценки информационных показателей компьютеров (объем памяти и т.д.).

Следует отметить, что в цифровой технике приставка «кило» обозначает не увеличение в 1000 раз, а 1024 — число, являющееся десятичной степенью числа 2.

Системы счисления, используемые в цифровой технике.

Для представления чисел используются определенные методы и правила, называемые системами счисления. Существуют две группы известных систем счисления: позиционные и непозиционные.

При непозиционной нумерации значение символа (цифры, буквы, символа или знака) фиксировано и не зависит от позиции символа в представляемом числе. И наоборот, в позиционных системах значение символа зависит от положения этого символа в представляемом числе. Непозиционные системы, будучи более простыми, исторически появились гораздо раньше, чем позиционные. Их использовали древние славяне, китайцы и другие народы. До наших дней дошла одна из разновидностей непозиционных систем — римская система счисления. В нем используются так называемые римские цифры: I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000. Число вычисляется путем сложения всех цифр с учетом правила, согласно которому цифра с меньшим весом, расположенная слева от следующей за ней цифры с большим весом, имеет знак минус и знак плюс там, где она расположена справа. Например, номер MCCXXXIV определяется следующим образом:

1000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 — 1 + 5 = 1234

Системы непозиционной нотации имеют два существенных недостатка. Во-первых, с увеличением диапазона представленных чисел увеличивается количество различных символов в представленных числах. Во-вторых, правила даже самых простых арифметических операций очень сложны.

Позиционные системы счисления обладают чрезвычайно важным свойством: все числа, как маленькие, так и большие, могут быть записаны с помощью конечного набора различных символов. Кроме того, правила операций над числами можно записать в виде таблиц сложения и умножения. Изобретение позиционных систем обозначений имело неоценимые последствия для дальнейшего развития человеческой цивилизации. Древние шумеры и индейцы были первыми, кто использовал эти системы счисления.

В позиционных системах обозначений каждое число X представляется в виде полинома

. (1.1)

В этом выражении aj называются коэффициентами цифр, S — основанием системы счисления, а Sj — весовыми коэффициентами. Значение коэффициента любой цифры представленного числа может лежать в пределах от 0 до S-1. В настоящее время во всех странах мира используется десятичная система счисления, которая представляет собой позиционную систему счисления с основанием S=10. Коэффициенты цифр в десятичной системе счисления могут принимать значения от 0 до 9. Для краткости вместо записи числа в виде многочлена записывают только последовательность коэффициентов цифр этого многочлена. Записывая десятичное число X10=163,28, мы имеем в виду значение

Подстрочный индекс в обозначении числа указывает на основание используемой системы счисления. В принципе, любое действительное число может выступать в качестве основания. Для перевода любой основной системы счисления в десятичную систему счисления используйте выражение 1,1, которое справедливо как для целой, так и для дробной части числа.

Например, возьмите восьмеричное число 3678 и переведите его в десятичную систему счисления. Логично записать это число в виде

.

Перевод из десятичной в произвольную систему счисления осуществляется по следующим правилам: целая часть десятичного числа делится на основание новой системы счисления, запись целой части нового числа производится по последнему результату деления (старшая цифра целой части), дробная часть десятичного числа умножается на основание новой системы счисления, запись нового числа производится по первому результату умножения (старшая цифра дробной части).

То же десятичное число 24710 можно записать как двоичное число 111101112. Действительно.

Записываем число в новой нотации от последнего результата деления: 111101112.

Преобразуем дробное десятичное число 125.4810 в двоичное. Сначала преобразуйте целочисленную часть:

Напишите целочисленную часть: 12510=11111012.
Теперь переведем дробную часть:

Обратите внимание, что дробная часть числа в новой системе счисления может иметь большое количество цифр или даже быть бесконечной. Поэтому нет необходимости находить все цифры, и мы можем ограничиться лишь частью из них, исходя из требований к точности представления числа. В нашем случае мы ограничиваемся семью цифрами дробной части и записываем ее с первого результата умножения 0,4810=0,01111012. Окончательный результат 125,4810=1111101,01111012.

Для того чтобы представить число с базовой системой счисления S с помощью цифровой вычислительной машины, необходимо, чтобы электронное устройство могло создавать различные состояния электрических сигналов на выходе и входе для восприятия S. В этом случае каждая цифра должна обрабатываться своим отдельным блоком устройства. Поэтому, чем выше основание системы счисления, в которой представлены обрабатываемые числа, тем меньше цифр и, следовательно, меньше узлов электронного устройства требуется. С другой стороны, увеличивается количество различных состояний электрических сигналов. Таким образом, для представления десятичных чисел с помощью электронной технологии необходимо, чтобы электронный блок мог различать десять состояний (уровней напряжения или тока) электрического сигнала. Реализация такого устройства представляет собой довольно сложную техническую задачу.

Кроме того, такое устройство будет подвержено помехам из-за сложности идентификации одного из десяти параметров электрического сигнала, что увеличивает вероятность ошибочных результатов обработки. Требования к надежности вычислительных устройств важнее, чем стоимость аппаратуры, поэтому наиболее широко используется двоичная система с двумя битами 0 и 1. Один бит в двоичном коде называется битом. Группа из восьми битов называется байтом. Электрический сигнал низкого напряжения (тока) соответствует логическому нулю, а сигнал высокого напряжения (тока) — логической единице в цифровом компьютере.

Помимо двоичных цифр, в цифровых вычислениях часто используются восьмеричные, шестнадцатеричные и десятичные цифры. Десятичная система счисления обычно используется для ввода и вывода информации на цифровые вычислительные устройства с помощью специальных преобразователей для упрощения человеко-машинного общения. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются в основном из-за компактности числовых обозначений и удобства перевода двоичных кодов в восьмеричную и шестнадцатеричную. В шестнадцатеричной системе используется шестнадцать символов — десять арабских цифр от 0 до 9 для представления первых десяти цифр и латинские символы от A до F для представления оставшихся шести цифр от 10 до 15 (A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15). Например, шестнадцатеричное число 4D16 соответствует десятичному числу 7710, потому что .

Преимуществом восьмеричной и шестнадцатеричной форм чисел является простота преобразования из двоичной формы в восьмеричную (шестнадцатеричную) и наоборот. Поскольку 8=23 и 16=24, для записи одной восьмеричной цифры требуется три двоичных разряда, а для записи одной шестнадцатеричной цифры — четыре двоичных разряда. Например, чтобы преобразовать шестнадцатеричное число 1ED9,0A16 в двоичную форму, каждая шестнадцатеричная цифра должна быть представлена эквивалентным четырехзначным двоичным числом: 116=00012, E16=11102, D16=11012, 916=10012, 016=00002, A16=10102. В результате, отбросив три несущественных нуля перед первой единицей, получим число 1111011011001,000010102.

Для ввода и вывода десятичной информации цифровые вычислительные устройства обычно используют не десятичную систему счисления, а двоично-десятичную систему, которая позволяет представлять десятичные числа с помощью двоичных кодов. В этой форме каждая цифра десятичного числа представлена в виде четырехзначного двоичного числа (двоичная тетрада). Таким образом, двоично-десятичная система счисления является разновидностью шестнадцатеричной системы, ограниченной первыми десятью символами.

Например, чтобы представить десятичное число 174.8310 в двоично-десятичной форме, необходимо, как и в шестнадцатеричной системе счисления, преобразовать каждую цифру десятичного числа в четырехзначный двоичный код: 110=00012, 710=01112, 410=01002, 810=10002, 310=00112. Окончательное число будет 000101110100,100000112-10. В двоично-десятичной системе счисления принято опускать несущественные нули, поскольку она всегда является формой десятичного представления чисел и обрабатывается группами по четыре цифры. Поэтому не следует путать двоично-десятичную форму числа с двоичной нотацией того же числа. В первом случае основание системы счисления остается десяткой — только коэффициенты цифр в основании выражаются в двоичной форме. Для простоты в таблице 1.1 показаны различные формы записи двадцати цифр ряда натуральных чисел.
Таблица 1.1.

Системы нумерации — это набор правил для представления чисел с помощью различных цифровых знаков. Системы нумерации делятся на два типа: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления значение любой цифры не зависит от ее позиции, т.е. от ее положения в наборе цифр. В римской нумерации всего семь цифр: один (I), пять (V), десять (X), пятьдесят (L), сто (C), пятьсот (D), тысяча (M). Эти цифры (символы) используются для записи остатка чисел при сложении и вычитании. Например, IV — обозначение числа 4 (V — I), VI — обозначение числа 6 (V + I) и т.д. Число 666 записывается в римской системе следующим образом: DCLXVI.

Эта форма обозначения менее удобна, чем та, которой мы пользуемся сегодня. Шесть единиц записываются одним символом (VI), шесть десятков — другим (L X), а шесть сотен — третьим (DC). С римскими цифрами очень трудно производить арифметические действия. Кроме того, общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, поскольку они чрезвычайно громоздки в написании.

Рассмотрим теперь число 666 в позиционной нотации. Есть одна шестерка, которая обозначает количество единиц, если она находится на последнем месте, количество десятков, если она находится на предпоследнем месте, и количество сотен, если она третья с конца. Такой способ записи чисел называется позиционным. В этой системе каждой цифре присваивается числовое значение не только в соответствии с ее формой, но и в соответствии с ее местом в числе.

В позиционной нотации любое число, представленное в виде A = + a1a2a3 . an-1an, можно представить как сумму

где n — конечное число цифр в представлении числа, где i — i-я цифра, d — основание системы счисления, i — порядковый номер цифры, d m -i — «вес» i-й цифры. Цифры a и i удовлетворяют неравенству 0 a

Для десятичной системы счисления d = 10 и a i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Поскольку цифры, состоящие из единиц и нулей, могут рассматриваться как десятичные или двоичные числа, при их совместном использовании обычно указывается основание системы счисления, например, (1100)2-двоичная и (1100)10-десятичная.

В цифровых компьютерах обычно используются системы, отличные от десятичной: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Двоичная система счисления

В этой системе d = 2 и допускаются только две цифры, т.е. a i = 0 или 1.

Любое число, выраженное в двоичной форме, представляется как сумма степеней основания два, умноженная на двоичную цифру разряда. Например, число 101.01 может быть записано следующим образом: 101.01 = 1×2 2 + 0x2 1 + 1×2 0 + 0x2 — 1 + 1×2 — 2 , что соответствует числу в десятичной системе счисления: 4 + 1 + 0,25 = 5,25.

Большинство современных цифровых компьютеров используют двоичную нотацию для представления чисел на машине и выполнения над ними арифметических операций.

Двоичная система счисления позволяет упростить схемотехнику и конструкцию арифметических устройств и устройств памяти, а также повысить надежность компьютера по сравнению с десятичной. Каждая цифра двоичного числа представлена состояниями включения и выключения элементов, таких как транзисторы и диоды, которые надежно работают в состояниях включения и выключения. Одним из недостатков двоичной системы является необходимость преобразования исходных числовых данных в двоичные числа, а результатов решения в десятичные числа, с помощью специальной программы.

Восьмеричная система счисления

Эта система основана на d == 8. Цифры используются для представления чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Восьмеричная система счисления используется в компьютерах как вспомогательная для подготовки решаемых задач (при программировании), проверки машины и отладки программы. Эта система имеет более короткий формат, чем двоичная. Восьмеричная система счисления обеспечивает простой переход к двоичной системе.

Шестнадцатеричная система счисления

Эта система имеет основание d = 16. В ней 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F и A . F представляет десятичные числа 10, 11, 12, 13, 14 и 15. Шестнадцатеричное число (1D4F)18 будет соответствовать десятичному числу 7503, потому что (1D4F)18 = 1 x 16 3 + 13 x 16 2 + 14 x 16 1 + 15 x 16 o = (7503)10

Шестнадцатеричная нотация обеспечивает более компактный способ хранения двоичных цифр по сравнению с восьмеричной нотацией. Он используется в устройствах ввода и вывода и устройствах отображения последовательного порядка в некоторых компьютерах.

Двоично-десятичная система счисления

Представление чисел в двоично-десятичной системе счисления осуществляется следующим образом. За основу берется десятичное число, тогда каждая цифра (от 0 до 9) записывается как четырехзначное двоичное число, называемое тетрадой, т.е. для каждой цифры десятичной системы используется не один знак, а четыре.

Например, десятичное число 647,59 будет соответствовать двоично-десятичному числу 0110 0100 0111, 0101 1001.

Двоично-десятичные числа используются в качестве промежуточной системы счисления и для кодирования входных и выходных чисел.

Правила преобразования из одной системы счисления в другую

Связь между компьютерами и устройствами осуществляется в основном с помощью чисел, представленных в двоичной нотации. Однако информация выдается пользователю в виде чисел в десятичной системе счисления, а инструкции адресуются в восьмеричной системе счисления. Поэтому при работе на компьютере необходимо переводить числа из одной системы счисления в другую. Для этого применяется следующее общее правило.

Чтобы перевести целое число из любой системы счисления в другую систему счисления, делите число на основание новой системы по очереди до тех пор, пока целое число не станет меньше делителя. Число в новой системе следует записывать как остаток от деления, начиная с последнего, то есть справа налево.

Например, преобразуем десятичное число 1987 в двоичное:

Число 1987 десятичной системы в двоичной системе будет 11111000011, т.е. (1987)10 = (11111000011)2

При переводе из любой системы в десятичную число представляется в виде суммы степеней его основания с соответствующими коэффициентами, а затем вычисляется сумма.

Например, переведем восьмеричное число 123 в десятичное: (123)8 = 1 x 8 2 + 2 x 8 1 + 3 x 8 0 = 64 + 16 + 3 = 83, поэтому (123)8 = (83)10

Чтобы перевести дробную часть числа из одной системы счисления в другую, последовательно умножьте дробную часть произведения на основание новой системы счисления. Дробные части числа в новой системе образуются как целые части результирующих произведений, начиная с первой. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока число не будет вычислено с определенной точностью.

Например, переведите десятичную дробь 0,65625 в двоичную систему счисления:

Поскольку дробная часть пятого произведения состоит только из нулей, дальнейшее умножение не требуется. Это означает, что заданная десятичная дробь переводится в двоичную систему без ошибок, т.е. (0.65625)10 = (0.10101)2.

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно не представляет сложности. Это объясняется тем, что их основания (d — 8 и d — 16) соответствуют целым числам, равным двум (2 3 = 8 и 2 4 = 16).

Чтобы перевести восьмеричные или шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления, достаточно заменить каждую цифру соответственно трех- или четырехзначным двоичным числом.

Например, преобразуем восьмеричное число (571)8 и шестнадцатеричное число (179)16 в двоичные числа.

В обоих случаях мы получаем одинаковый результат, т.е. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Чтобы перевести число из двоичной формы в десятичную, заменим каждую тетраду числа, представленного в двоичной форме, цифрой, представленной в десятичной форме.

Например, запишем число (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 в десятичной системе счисления, т.е. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)

Оцените статью
Добавить комментарий